Fractales: siempre he querido hacer esto

Por si alguno no la sabía, los fractales han sido una de mis últimas obsesiones (en el lateral tenéis una lista de otras más recientes). Siempre he tenido ganas de poner un psot sobre el tema, pero el término "fractal" abarca un campo tan amplio, que nunca he encontrado el momento. Para una explicación concreta y concisa de lo que es un fractal, y siguiendo la línea de Alex, os remito al artículo de la Wikipedia sobre el tema. En resumen, un fractal es cualquier objeto que tiene un nivel de detalle infinito (por muy cerca que lo mires, siempre ves algo más), que es "auto-similar" (no podrías decir a qué nivel de detalle lo estás mirando, puesto que su estructura o sus características se repiten), y que tiene unas características particulares que lo hacen mu especial. Por ejemplo, en principio no es posible medir su tamaño (no puedes medir la longitud de una línea que da infinitas vueltas, por ejemplo). Lo habéis entendido? No, verdad? Insisto en lo del artículo de la Wikipedia :)
Un tipo muy común de fractal es el de las imágenes fractales generedas a partir de iteraciones matemáticas. El término "fractal" fue de hecho acuñado en 1975 por Benoît Mandelbrot, quien descubrió que si se colorea de una forma en particular la representación gráfica de una función con números complejos, se obtiene un gráfico con características fractales como el que muestra la imagen.
Actualmente se usan muchas variantes, pero la fórmula original usada por Mandelbrot es Z=Z^2+C. La forma de obtener una imagen fractal a partir de esto es fijar primero un valor de C (complejo), y elegir un umbral. Los valores complejos de Z se consideran coordenadas bidimensionales en un plano, y cada punto (definido por los valores real y complejo de Z) se colorea de acuerdo con el número de veces que hay que iterar la función para que el resultado supere el umbral elegido. Evidentemente, la forma y colores del gráfico resultante dependen tanto de C como del umbral, y en un caso más general, de la fórmula utilizada.